ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012
Раздел: ЕГЭ
Единый государственный экзамен по
МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов единого
государственного экзамена 2012 года
по
математике
подготовлен Федеральным государственным научным учреждением
«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»
Пояснения к демонстрационному варианту
контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 201
2
года
по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 201
2
года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.
Демонстрационный вариант
предназначен для того, чтобы дать
предс
тавление
о структуре будущих контрольных
измерительных материа
л
ов
, количестве заданий, их форме, уровне сложности.
Задания
д
емонстрационн
ого
вариант
а
не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть вклю
чены в контрольн
ые
измерительные материалы
в 201
2
году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов
–
в кодификаторах требований и
элементов
содержания
по математике для составления контрольных измер
ительны
х
материалов ЕГЭ 2012
г
ода
.
П
равильно
е
решение
каждого из заданий В1
–
В14
части 1
экзаменационной работы
оценивается 1 баллом.
П
равильное
реш
ение
каждого из заданий
С1 и С2
оцени
вается 2 балла
ми,
С3 и С4 – 3 балла
ми
,
С5 и С6 – 4 балла
ми
.
Максимальный
первичный
балл за выполнение всей работы – 3
2
.
В
ерное выполнение
не менее
пяти
заданий экзамена
ционной работы
отвечает минимальному
уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.
К каждому заданию с разв
ё
рнутым ответом, включ
ё
нному в демонстрационный вариант, да
ё
тся
возможное
решени
е
. Привед
ё
нные критерии оценивания позволя
ю
т составить представление о требованиях к полноте и правильности решений.
Д
емо
нстрационный вариант контро
льных измерительных материалов,
система
оценивания, спецификаци
я и
кодификатор
ы
помогут
выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.
Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант
контрольных измерительных материалов 201
2
года
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по математике да
ё
тся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.
Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими ч
ё
рными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой руч
ки
.
При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха
!
Часть 1
Ответом на задания В1
–
В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов №
1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с привед
ё
нными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.
B
1
Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?
В2
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.
B
3
Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см
×
1 см
(см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
B
4
Строительная фирма планирует купить 70
пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
Постав
щик
Стоимость
пено
блоков
(руб. за
1 м
3
)
Стоимость доставки
(руб.)
Дополнительные
условия доставки
А
2
600
10
000
Нет
Б
2
800
8
000
При заказе товара на сумму свыше 150
000 рублей доставка бесплатн
ая
В
2
700
8
000
При заказе товара на сумму свыше 200
000 рублей доставка бес
платная
B
5
Найдите корень уравнения
.
B
6
Треугольник
вписан в окружность с центром
. Найдите угол
, если угол
равен
.
B
7
Найдите
, если
и
.
B
8
На рисунке изображён график
дифференцируемой
функции
.
На оси абсцисс
отмечены
девять точек:
.
Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции
отрицательна
. В ответе укажите количество найденных точек.
B
9
Диагональ
основания правильной четырёхугольной пирамиды
равна 6. Высота пирамиды
равна
4
. Найдите
длину
боко
вого
реб
ра
.
B
10
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в
двух
из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику доста
ё
тся один случайно выбранный билет
из этого сборника
. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
B
11
Объём первого цилиндра равен
12 м³
. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра
(в м³).
B
12
Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой
, где
– высота в метрах,
– время в секундах, прошедшее с момента броска.
С
колько секунд камень находился на высоте не менее
9 метров
.
B
13
Весной катер ид
ё
т против течения реки в
раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на
1 км/ч
медленнее. Поэтому летом катер ид
ё
т против течения в
раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной
(в км/ч)
.
B
14
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
Часть 2
Для записи решений и ответов на задания С1
–
С6 используйте бланк ответов №
2. Запишите сначала номер выполняемого задания
(С1, С2 и т. д.)
, а затем полное обоснованное решение и ответ.
C
1
а)
Решите уравнение
.
б)
Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие
промежутку
.
С2
Сторона основания правильной треугольной призмы
равна
, а диагональ боковой грани равна
. Найдите угол между плоскостью
и плоскостью основания призмы.
С3
Решите систему неравенств
С4
На стороне
BA
угла
, равного
,
взята такая точка
D
, что
и
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки
A
,
D
и касающейся прямой
BC
.
C
5
Найдите все значения
, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше 1.
C6
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Система оценивания
демонстрационно
го варианта
контрольных измерительных материалов
по МАТЕМАТИКЕ
Ответы к заданиям части 1
Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными
верно
, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
З
адани
е
Ответ
В1
5
В2
5
В3
18
В4
192
000
В5
12
В6
64
В7
–0,8
В8
3
В9
5
В10
0,92
В11
9
В12
2,4
В13
5
В14
1
Ответы к заданиям части 2
З
адани
е
Ответ
С1
а)
,
,
б)
С2
С3
С4
1 или 7
С5
С6
а) 44; б) отрицательных; в) 17
Решения и критерии оценивания
заданий
части 2
Количество баллов, выставляемых за выполнение
заданий части 2 завис
и
т от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с разв
ё
рнутым ответом: решение должно быть математически грамотным,
полным
, в частности,
все возможные случаи должны быть рассмотрены
.
Методы решения, формы его записи и
формы
записи ответа могут быть разными
. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов.
Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов
.
Эксперты проверяют
только
математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов
.
При выпол
нении задания можно
использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях,
входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.
С1
а)
Решите уравнение
.
б)
Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие
промежутку
.
Решение
.
а)
Так как
,
,
то
.
Корни уравнения:
,
б)
Корни уравнения
изображаются точками
и
, а корни уравнения
— точками
и
, промежуток
изображается
жирной
дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения:
,
и
.
Ответ:
а)
,
,
б)
.
Другие решения
пункта б)
.
б)
Корни
,
принадле
жащи
е
промежутк
у
, отберем по графику
. Прямая
(ось
) пересекает график в единственной точке
, абсцисса которой принадлежит
промежутк
у
.
Прямая
пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат
(см. рис.). Так как период функции
равен
, то эти абсциссы равны, соответственно,
и
.
В промежутке
содержатся три корня:
.
б)
Пусть
. Подставляя
, получаем
. Промежутку
принадлежит только
.
Пусть
. Подставляя
, получаем:
. Промежутку
принадлежат только
.
Промежутку
принадлежат корни:
.
б)
О
тберем
корни
,
принадлежащие
промежутк
у
.
Пусть
Тогда
. Корень, принадлежащий промежутку
:
.
Пусть
.
Тогда
.
Корень, принадлежащий промежутку
:
.
Пусть
.
Тогда
.
Корень, принадлежащий промежутку
:
.
Промежутку
принадлежат корни:
.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в п.
а)
и в п.
б)
2
Обоснованно получен верный ответ в п.
а)
, но обоснование отбора корней в п.
б)
не приведено или
задача в п.
а)
обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п.
б)
приведен обоснованный отбор корней
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2
С
2
Сторона основания правильной треугольной призмы
равна
, а диагональ боковой грани равна
.
Найдите угол между плоскостью
и
плоскостью основания
призмы.
Решение
.
Обозначим
середину ребра
(
см. рисунок
). Так как треугольник
равносторонний, а треугольник
– равнобедренный, отрезки
и
перпендикулярны
. Следовательно
,
– линейный угол двугранного угла
с гранями
и
.
Из
треугольника
н
айдё
м
:
.
Из треугольника
найдё
м
:
.
Из треугольника
на
йдё
м
:
И
скомый угол равен
.
Ответ
:
.
Возможны другие
формы
записи ответа
.
На
пример:
А)
;
Б)
рад.
В)
и т.п.
Возможны д
ругие решения
.
Например, с использованием векторов
или метода координат
.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ
,
или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный
балл
2
С3
Решите систему неравенств
Решение.
1
.
Неравенство
запишем в виде
. Относительно
неравенство имеет вид:
, откуда получаем:
,
.
Значит,
,
.
2
.
Второе неравенство системы определено при
то есть при
и
.
При допустимых значениях переменной получаем:
,
,
,
,
.
С уч
ё
том области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:
.
3
.
Сравним
и
. Так как
, то
, следовательно
,
.
Решение системы неравенств:
.
Ответ:
.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
3
Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не пр
о
ведено обоснованно
го
сравнени
я
значений конечных точек
найденных промежутков
2
Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный
балл
3
Комментарий.
Если обоснованно получены оба ответа
:
и
, после чего лишь
сказано
, но никак не обосновано, что
, то
такое решение оценивается в
2 бал
ла
.
С4
На стороне
BA
угла
, равного
, взята такая точка
D
, что
и
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки
A
,
D
и касающейся прямой
BC
.
Решение.
Центр
O
искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку
AD
. Обозначим
P
середину отрезка
AD
,
Q
– основание перпендикуляра, опущенного из точки
O
на прямую
BC
,
E
–
точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой
BC
(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой
BC
следует, что отрезки
OA
,
OD
и
OQ
равны радиусу
R
окружности.
Заметим, что точка
не может лежать по ту же сторону от прямой
AB
, что и точка
E
, так как в этом случае расстояние от точки
O
до прямой
BC
меньше, чем расстояние от не
ё
до точки
A
.
Из прямоугольного треугольника
BPE
с катетом
BP
=
2 и
находим, что
PE
=
.
Так как
OA
=
R
и
, получаем:
, следовательно,
.
Из прямоугольного треугольника
OQE
, в котором
, находим:
.
В результате получаем уравнение:
.
Возвед
ё
м в квадрат обе части этого уравнения и привед
ё
м подобные члены. Получим уравнение
R
2
– 8
R
+
7 = 0, решая которое находим два корня
:
R
1
= 1,
R
2
= 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка
(см. рисунок б).
Ответ:
1 или 7.
Друго
е
решени
е
.
Пусть точка
касания окружности с прямой
лежит на луче
(см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей
,
о
ткуда
.
Пусть
– точка пересечения луча
и перпендикуляра к
, провед
ё
нного через точку
. Из прямоугольного треугольника
находим:
, тогда
и
.
Таким образом, точка
удалена от точек
,
и
на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно,
– центр искомой окружности, а е
ё
радиус равен 1.
Пусть теперь точка
касания окружности с прямой
лежит на продолжении
за точку
(см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку
перпендикулярно
, пересекает прямую
в точке
, а окружность вторично – в точке
. Тогда
Если
–
радиус окружности, то
. По теореме о
двух
секущих
, то есть
,
откуда
находим, что
.
Ответ:
1 или 7.
Возможны другие
форм
ы записи ответа
.
Например:
А) 1, 7;
Б) радиус окружности равен 7 или 1.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины
, или рассмотрены обе конфигурации,
для
которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок
2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный
балл
3
С5
Найдите все значения
, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше 1.
Решение
.
1. Функция
имеет вид:
a) при
:
, а е
ё
график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
;
б) при
:
, а е
ё
график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.
Все возможные виды графика функции
показаны на рисунках:
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 2
Рис. 4
2. Наименьшее значение функци
я
может принять
только в точках
или
, а если
– то в точке
.
3. Наименьшее значение функции
больше 1 тогда и только тогда, когда
.
Ответ:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
4
Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки
3
Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна
2
Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4
С6
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение
.
Пусть среди написанных чисел
положительных,
отрицательных и
нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
.
а) Заметим, что в левой части
приведённого выше равенства
каждое слагаемое делится на 4, поэтому
— количество целых чисел — делится на 4. По условию
, поэтому
. Таким образом, написано 44 числа.
б) Приведём равенство
к виду
. Так как
, получаем, что
, откуда
. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в
оценка
) Подставим
в правую часть равенства
:
, откуда
. Так как
, получаем:
то есть положительных чисел не более 17.
в
пример
) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число
и два раза написан 0. Тогда
, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ:
а) 44; б) отрицательных; в) 17.
Содержание критерия
Баллы
Верно выполнены: а), б), в
пример
), в
оценка
)
4
Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в
пример
), в
оценка
)
3
Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в
пример
), в
оценка
)
2
Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в
пример
), в
оценка
)
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4
Оценка: 0. | Оценило 0 человека.
