Поделись:





РАЗДЕЛЫ
Авиация и космонавтика (292)
Административное право (113)
Английский язык (62064)
Арбитражный процесс (22)
Архитектура (98)
Астрология (15)
Астрономия (4788)
Банкосвкое дело (4987)
Без категории (14560)
Безопасность жизнедеятельности (2585)
Биографии (3219)
Биология (4036)
Биология и химия (1421)
Биржевое дело (61)
Ботаника и сельское хозяйство (2694)
Бухгалтерский учет и аудит (7694)
Валютные отношения (47)
Ветеринария (45)
Военная кафедра (732)
География (4779)
Геодезия (27)
Геология (1186)
Геополитика (42)
Государство и право (19449)
Гражданское право и процесс (434)
Делопроизводство (17)
Деньги и кредит (96)
ЕГЭ (32)
Естествознание (92)
Журналистика (899)
ЗНО (47)
Зоология (34)
Издательское дело и полиграфия (475)
Инвистиции (91)
Информатика (3452)
Информатика, программирование (5960)
Исторические личности (2109)
История (20812)
История техники (765)
Кибернетика (60)
Коммуникации и связь (3050)
Компьютерные науки (60)
Косметология (17)
Краеведение и этнография (580)
Краткое содержание произведений (1000)
Криминалистика (102)
Криминология (46)
Кулинария (1147)
Культура и искусство (8212)
Культурология (501)
Литература (зарубежная) (2035)
Литература и русский язык (11459)
Логика и логстика (545)
Маркетинг (7739)
Медицина и здоровье (9936)
Международное право (79)
Международные отношения (2189)
Менеджмент (11960)
Металлургия (82)
Москвоведение (764)
Музыка (1307)
Налоги и налогооблажение (199)
Наука и техника (1139)
Начертательная геометрия (9)
Окультизм и уфология (8)
Педагогика (7566)
Политология (3650)
Право, юриспруденция (3708)
Предпринимательство (406)
Промышленность и производство (6865)
Психология (8363)
Психология и педагогика (4048)
Радиоэлектронника (364)
Реклама (948)
Религия и мифология (2829)
Риторика (23)
Сексология (748)
Социология (4709)
Статистика (80)
Страхование (105)
Строительство (1984)
Таможенная система (655)
Теория государства и права (219)
Теория организации (35)
Технология (492)
Транспорт (2552)
Туризм (80)
Уголовное право и процесс (369)
Управление (105)
Физика (3298)
Физкультура и спорт (4360)
Философия (6846)
Финансовые науки (4389)
Финансы (5237)
Химия (2195)
Цифровые устройства (22)
Экология (4322)
Экономика (19673)
Экономико-математическое моделирование (644)
Экономическая география (113)
Экономическая теория (2472)
Этика (887)
Юриспруденция (268)
Языковедение (135)
Языкознание и филология (1140)
Счетчики


ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 2012
Раздел: ЕГЭ



Единый государственный экзамен по
МАТЕМАТИКЕ


Демонстрационный вариант

контрольных измерительных материалов единого

государственного экзамена 2012 года

по
математике




подготовлен Федеральным государственным научным учреждением


«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»


Пояснения к демонстрационному варианту

контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 201
2
года

по МАТЕМАТИКЕ


Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 201
2
года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.

Демонстрационный вариант

предназначен для того, чтобы дать
предс
тавление
о структуре будущих контрольных
измерительных материа
л
ов
, количестве заданий, их форме, уровне сложности.
Задания
д
емонстрационн
ого
вариант
а
не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть вклю
чены в контрольн
ые
измерительные материалы

в 201
2
году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов

в кодификаторах требований и
элементов
содержания
по математике для составления контрольных измер
ительны
х
материалов ЕГЭ 2012
г
ода
.

П
равильно
е

решение

каждого из заданий В1

В14

части 1

экзаменационной работы
оценивается 1 баллом.
П
равильное
реш
ение
каждого из заданий

С1 и С2
оцени
вается 2 балла
ми,
С3 и С4 – 3 балла
ми
,
С5 и С6 – 4 балла
ми
.
Максимальный
первичный
балл за выполнение всей работы – 3
2
.

В
ерное выполнение
не менее
пяти
заданий экзамена
ционной работы
отвечает минимальному

уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

К каждому заданию с разв
ё
рнутым ответом, включ
ё
нному в демонстрационный вариант, да
ё
тся
возможное
решени
е
. Привед
ё
нные критерии оценивания позволя
ю
т составить представление о требованиях к полноте и правильности решений.
Д
емо
нстрационный вариант контро
льных измерительных материалов,

система
оценивания, спецификаци
я и
кодификатор
ы

помогут
выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.


Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ


Демонстрационный вариант

контрольных измерительных материалов 201
2
года


Инструкция по выполнению работы


На выполнение экзаменационной работы по математике да
ё
тся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими ч
ё
рными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой руч
ки
.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.



Желаем успеха
!

Часть 1


Ответом на задания В1

В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов №

1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с привед
ё
нными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.









B
1

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?



В2


На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.





B
3

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см
×
1 см
(см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.





B
4

Строительная фирма планирует купить 70
пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Постав
щик

Стоимость

пено
блоков

(руб. за
1 м
3
)

Стоимость доставки

(руб.)

Дополнительные

условия доставки

А

2

600

10

000

Нет

Б

2

800

8

000

При заказе товара на сумму свыше 150

000 рублей доставка бесплатн
ая

В

2

700

8

000

При заказе товара на сумму свыше 200

000 рублей доставка бес
платная


B
5

Найдите корень уравнения
.


B
6

Треугольник
вписан в окружность с центром
. Найдите угол
, если угол
равен
.


B
7

Найдите
, если
и
.

B
8

На рисунке изображён график
дифференцируемой
функции
.

На оси абсцисс
отмечены
девять точек:
.
Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции

отрицательна
. В ответе укажите количество найденных точек.






B
9

Диагональ
основания правильной четырёхугольной пирамиды
равна 6. Высота пирамиды


равна
4
. Найдите
длину
боко
вого
реб
ра

.






B
10

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в
двух
из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику доста
ё
тся один случайно выбранный билет
из этого сборника
. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.



B
11

Объём первого цилиндра равен
12 м³
. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра
(в м³).



B
12

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой
, где
– высота в метрах,
– время в секундах, прошедшее с момента броска.
С
колько секунд камень находился на высоте не менее
9 метров
.



B
13

Весной катер ид
ё
т против течения реки в

раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на
1 км/ч
медленнее. Поэтому летом катер ид
ё
т против течения в

раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной
(в км/ч)
.



B
14

Найдите наибольшее значение функции

на отрезке
.



Часть 2


Для записи решений и ответов на задания С1

С6 используйте бланк ответов №

2. Запишите сначала номер выполняемого задания

(С1, С2 и т. д.)
, а затем полное обоснованное решение и ответ.



C
1

а)
Решите уравнение
.

б)
Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие
промежутку

.



С2

Сторона основания правильной треугольной призмы
равна
, а диагональ боковой грани равна
. Найдите угол между плоскостью
и плоскостью основания призмы.



С3

Решите систему неравенств


С4

На стороне
BA
угла
, равного
,
взята такая точка
D
, что
и
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки
A
,
D
и касающейся прямой
BC
.




C
5




Найдите все значения
, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше 1.




C6



На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Система оценивания
демонстрационно
го варианта


контрольных измерительных материалов

по МАТЕМАТИКЕ


Ответы к заданиям части 1


Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными
верно
, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.


З
адани
е

Ответ

В1

5

В2

5

В3

18

В4

192

000

В5

12

В6

64

В7

–0,8

В8

3

В9

5

В10

0,92

В11

9

В12

2,4

В13

5

В14

1


Ответы к заданиям части 2


З
адани
е

Ответ

С1

а)

,
,


б)


С2


С3


С4

1 или 7

С5


С6

а) 44; б) отрицательных; в) 17


Решения и критерии оценивания
заданий
части 2


Количество баллов, выставляемых за выполнение
заданий части 2 завис
и
т от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с разв
ё
рнутым ответом: решение должно быть математически грамотным,
полным
, в частности,

все возможные случаи должны быть рассмотрены
.
Методы решения, формы его записи и
формы
записи ответа могут быть разными
. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов.
Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов
.

Эксперты проверяют
только
математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов
.

При выпол
нении задания можно
использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях,
входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.


С1

а)
Решите уравнение
.

б)
Найдите все корни этого уравнения,
принадлежащие
промежутку

.


Решение
.

а)

Так как
,
,
то




.

Корни уравнения:

,

б)
Корни уравнения
изображаются точками
и
, а корни уравнения
— точками
и
, промежуток
изображается
жирной
дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения:
,
и
.


Ответ:

а)

,
,


б)

.


Другие решения
пункта б)
.

б)
Корни
,
принадле
жащи
е
промежутк
у

, отберем по графику
. Прямая
(ось
) пересекает график в единственной точке
, абсцисса которой принадлежит
промежутк
у

.

Прямая
пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат
(см. рис.). Так как период функции
равен
, то эти абсциссы равны, соответственно,

и
.


В промежутке
содержатся три корня:
.


б)
Пусть
. Подставляя
, получаем
. Промежутку
принадлежит только
.

Пусть
. Подставляя
, получаем:
. Промежутку
принадлежат только
.


Промежутку
принадлежат корни:
.


б)
О
тберем
корни
,
принадлежащие
промежутк
у

.


Пусть
Тогда

. Корень, принадлежащий промежутку
:
.

Пусть
.


Тогда

.


Корень, принадлежащий промежутку
:
.

Пусть
.


Тогда
.

Корень, принадлежащий промежутку
:

.

Промежутку
принадлежат корни:
.


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в п.
а)
и в п.
б)

2

Обоснованно получен верный ответ в п.
а)
, но обоснование отбора корней в п.
б)
не приведено или

задача в п.
а)
обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п.
б)
приведен обоснованный отбор корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2


С
2

Сторона основания правильной треугольной призмы
равна
, а диагональ боковой грани равна
.
Найдите угол между плоскостью
и
плоскостью основания
призмы.


Решение
.


Обозначим
середину ребра
(
см. рисунок
). Так как треугольник
равносторонний, а треугольник
– равнобедренный, отрезки
и

перпендикулярны

. Следовательно
,

– линейный угол двугранного угла
с гранями
и
.

Из
треугольника
н
айдё
м
:

.

Из треугольника
найдё
м
:
.

Из треугольника
на
йдё
м
:

И
скомый угол равен
.


Ответ
:

.

Возможны другие
формы
записи ответа
.
На
пример:

А)
;

Б)
рад.

В)
и т.п.

Возможны д
ругие решения
.
Например, с использованием векторов
или метода координат
.


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ
,
или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный

балл

2


С3

Решите систему неравенств

Решение.

1
.
Неравенство
запишем в виде
. Относительно
неравенство имеет вид:
, откуда получаем:
,
.

Значит,
,
.

2
.
Второе неравенство системы определено при


то есть при
и
.

При допустимых значениях переменной получаем:
,
,
,
,
.

С уч
ё
том области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы:
.


3
.
Сравним
и
. Так как
, то

, следовательно
,

.

Решение системы неравенств:
.

Ответ:

.


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не пр
о
ведено обоснованно
го
сравнени
я

значений конечных точек
найденных промежутков

2

Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный

балл

3


Комментарий.
Если обоснованно получены оба ответа
:

и
, после чего лишь
сказано
, но никак не обосновано, что
, то
такое решение оценивается в
2 бал
ла
.


С4

На стороне
BA

угла
, равного

, взята такая точка
D
, что
и
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки
A
,
D
и касающейся прямой
BC
.


Решение.


Центр
O

искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку
AD
. Обозначим
P
середину отрезка
AD
,
Q

– основание перпендикуляра, опущенного из точки
O

на прямую
BC
,

E

точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой
BC

(см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой
BC
следует, что отрезки
OA
,
OD

и
OQ

равны радиусу
R

окружности.

Заметим, что точка
не может лежать по ту же сторону от прямой
AB
, что и точка
E
, так как в этом случае расстояние от точки
O
до прямой
BC


меньше, чем расстояние от не
ё
до точки
A
.

Из прямоугольного треугольника
BPE

с катетом
BP
=
2 и
находим, что
PE
=
.

Так как
OA
=
R

и
, получаем:
, следовательно,
.

Из прямоугольного треугольника
OQE
, в котором
, находим:

.

В результате получаем уравнение:

.

Возвед
ё
м в квадрат обе части этого уравнения и привед
ё
м подобные члены. Получим уравнение
R
2
– 8
R
+
7 = 0, решая которое находим два корня
:

R
1
= 1,
R
2
= 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка
(см. рисунок б).


Ответ:
1 или 7.


Друго
е
решени
е
.


Пусть точка
касания окружности с прямой
лежит на луче
(см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

,

о
ткуда
.

Пусть

– точка пересечения луча
и перпендикуляра к
, провед
ё
нного через точку
. Из прямоугольного треугольника
находим:

, тогда

и

.

Таким образом, точка
удалена от точек
,
и
на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно,
– центр искомой окружности, а е
ё
радиус равен 1.

Пусть теперь точка
касания окружности с прямой
лежит на продолжении
за точку
(см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку
перпендикулярно
, пересекает прямую
в точке
, а окружность вторично – в точке
. Тогда



Если


радиус окружности, то
. По теореме о
двух
секущих

, то есть

,

откуда

находим, что
.



Ответ:
1 или 7.

Возможны другие
форм
ы записи ответа
.
Например:

А) 1, 7;

Б) радиус окружности равен 7 или 1.



Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины
, или рассмотрены обе конфигурации,
для
которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок

2

Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный

балл

3



С5

Найдите все значения
, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше 1.

Решение
.

1. Функция
имеет вид:

a) при
:
, а е
ё
график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии
;

б) при
:
, а е
ё
график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции
 показаны на рисунках:


Рис. 1



Рис. 3


Рис. 2



Рис. 4


2. Наименьшее значение функци
я

 может принять
только в точках
или
, а если
 – то в точке
.

3. Наименьшее значение функции
больше 1 тогда и только тогда, когда








 

  

 




 
.


Ответ:



Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

4

Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки

3

Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна

2

Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4


С6

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно
, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно
.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение
.


Пусть среди написанных чисел
положительных,
отрицательных и
нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому
.

а) Заметим, что в левой части
приведённого выше равенства
каждое слагаемое делится на 4, поэтому
— количество целых чисел — делится на 4. По условию
, поэтому
. Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство
к виду
. Так как
, получаем, что
, откуда
. Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

в
оценка
) Подставим
в правую часть равенства
:
, откуда
. Так как
, получаем:



то есть положительных чисел не более 17.

в
пример
) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число
и два раза написан 0. Тогда
, указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.


Ответ:
а) 44; б) отрицательных; в) 17.





Содержание критерия

Баллы

Верно выполнены: а), б), в
пример
), в
оценка
)

4

Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в
пример
), в
оценка
)

3

Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в
пример
), в
оценка
)

2

Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в
пример
), в
оценка
)

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4






Оценка: 0. | Оценило 0 человека.
ВНИМАНИЕ
Уважаемые гости, хотим обратить Ваше внимание на то, что все представленные работы на этом сайте получены с публичных ресурсов, находятся в свободном доступе, не являются уникальными и не подходят для их сдачи "как есть".
Если вы обладаете авторским правом на какую либо информацию, размещенную на нашем сайте и не согласны с её общедоступностью, обязательно сообщите нам об этом.
Данные работы Вы можете использовать в качестве дополнительных материалов для написания своего реферата либо любой другой работы.
В ПОМОЩЬ УЧАЩИМСЯ
Мы настоятельно рекомендуем нашим пользователям самостоятельно выполнять все работы. Но бывают ситуации, когда нет возможности, либо элементарно времени, чтобы самому заниматься той или иной работой. В этом случае можно заказать выполнение за вас реферата, курсовой и т.д. Но будет ли такая работа соответствовать всем вашим критериям? Сомневаемся. Поэтому хотим дать вам хороший совет. Найдите на нашем сайте работу, максимально подходящую под ваши критерии. Закажи повышение оригинальности и получите уникальную работу для сдачи. Это сэкономит вам деньги и вы получите именно то, что хотели.
НОВОСТИ НАУКИ
Обратная связь
По всем интересующим вас вопросам обращайтесьна почту:


Если у вас есть интересная работа и вы хотите ей поделиться, присылайте ее нам и мы обязательно разместим ее на нашем сайте, а пользователи обязательно скажут вам спасибо: